题目1：如图1，I为△ABC的内心，IE⊥BC于E，AD⊥BC于D，F为BI上一点，EF=EI，CI、AD交于G。求证：F、I、G、D四点共圆。
解题思路：延长EF交AB于H，连接FD、IA（图2）。
易证△BHF为Rt△，则Rt△BEI∽Rt△BHF，
BE/BH=BI/BF；
易证Rt△ABD∽Rt△EBH，则BE/BH=AB/BD。
故BI/BF=AB/BD，即AB/BI=BD/BF，
结合∠ABI=∠DBF=α，则△ABI∽△DBF，
故∠BDF=∠BAI=1/2∠BAC。
已知∠BDF=90°-∠FDA，则∠FDA=90°-1/2∠BAC。
在四边形FIGD中，
∠FIG+∠FDG
=∠BIC+∠FDA
=（90°+1/2∠BAC）+（90°-1/2∠BAC）
=180°，故F、I、G、D四点共圆成立。
题目2：如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，∠CAD=∠ABF。求证：FA⊥AC。
解题思路：作EH⊥FB于H，连接EB、HA（图2），则EA=EB。
易证∠EBH=∠DAB，则Rt△ABD∽Rt△BHE，
故AB/HB=AD/EB=AD/EA，已知∠CAD=ABF，
则△AHB∽△DEA，∠AHB=∠DEA，
∠FHA=∠FEA=θ（等角的补角相等），
E、F、A、H四点共圆成立，
∠FAE=∠FHE=90°，
FA⊥AC得证。
题目3:如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，E在AD上，CE的延长线交BA的延长线于F，过点E作AB的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N，BM、CF交于点P。求证：FN∥MC。
解题思路：已知EM∥BF，则△PBF∽△PME（图2），
PB/PM=PF/PE，即PB·PE=PM·PF。
易证△PNE∽△PBC（图3），PN/PB=PE/PC，
即PB·PE=PN·PC。
则PM·PF=PN·PC，即PF/PN=PC/PM，
结合∠FPN=∠CPM，则△FPN∽△CPM（图4），
故∠PFN=∠PCM，FN∥MC成立。
题目4：如图1，AD、AH分别是△ABC（AB＞AC）的角平分线和高线，M是AD的中点，△MDH的外接圆与CM交于点E。证明：∠AEB=90°。
解题思路：已知AH⊥BC，Rt△AHB与△AEB有共边AB，如A、B、H、E四点共圆，则可证明∠AEB=90°。
连接MH、EH（图2）。
已知M为Rt△ADH斜边上的中点，故MA=MD=MH，
∠MDH=∠MHD；
又知AD为∠BAC平分线，则∠BAD=∠CAD。
因四边形MDHE为圆内接四边形，∠CHE=∠DME，
∠MDH+∠MEH=180°，即∠MHD+∠MEH=180°，
而∠MHD+∠MHC=180°，故∠MHC=∠MEH。
易证△MHC∽△MEH（母子相似三角形），
则有MH²=ME·MC，即
MA²=ME·MC。
在△AME和△CMA中，
∠AME=∠CMA，MA/ME=MC/MA,
则△AME∽△CMA，∠MAE=∠MCA。
在四边形BHEA中，
∠BHE+∠BAE=∠BHE+（∠BAD+∠MAE）
=∠BHE+（∠CAD+∠MCA）
=∠BHE+∠DMC
=∠BHE+∠CHE
=180°，故A、B、H、E四点共圆，
∠AEB=∠AHB=90°。
