昨天帖子里收到一位江苏学友的留言，说让刘博士谈谈2024年南京市中考数学的最后三道压轴题，也就是全卷的第25题，第26题，第27题.然后在网上看了下这三道题目，然后呢，又让我感慨了，到目前为止，全网居然没有一份我觉得还不错的解答.可能是大家还在研究，也可能是我没有搜到吧.
不过也要应这位学友的邀请，从昨天自己做题，整理讲解思路，画图打字输出，还是小花了点时间的，直到今天才能发出来分享给大家.
提示各位看官：此文是三道大题的详解，【5000字的长文】，希望大家【耐心阅读】哦！相信你一定会有收获.
不过有言在先，先说说刘博士对这三道题目的总体解题感受：整体的感觉还是南京中考的味道：该得分的地方一定可以得，不想让你得分的地方，强求也没用，并无惊奇之处.
第25题，非常典型而且正常的二次函数题目，平时我们的专题训练里到处都是这类题目，考生不应该失分，但是解法的优劣还是在于运算量的比较，可惜网传的第一份解析太令人失望了，繁琐的不忍直视.
第26题，题目是网传版本，如果是尺规作图题目，那题目的前大部分都很简单，只是最后一小步作图有点困难，但在考场上考生如果没有思路可以直接放弃，绝对不会因这一点点影响你中考数学的整体成绩.
第27题，非常经典的【灯下影问题】出题背景，题目非常灵活，是非常有意思的一道题目，南京市的出题水准还是很高的，这一题就体现的出来.
在求解的时候，第（1）问，第（2）问，第（3）问的第①小问都是比较正常的解答，解题入口非常明确，就是A字相似建立影子y和路程x的等量关系，进而得到一次函数关系，再配合读图获取关键信息的能力，完全可以在短时间内得到绝大部分的分数.
但是最后的第②小问估计大家要栽跟头了，注意，这一问是【选择题】啊，选择题千万别靠傻傻地计算啊，一定要靠【思辨能力】去解答！这绝对是出题人的本意！
Part1：第25题，二次函数综合问题好，我们先看第25题，这是一道非常经典的二次函数问题，题目描述如下：
已知函数y＝ax²＋bx＋c，其顶点在y＝x²上，顶点坐标为(m，n).图象过点(1，2).
(1)当n最小时，
(2)用m表示a；
(3)在函数图象上有三个点(－2，y1)、(－1，y2)、(2，y3)，当m取什么范围时y2＜y1＜y3
【读题翻译】
题目非常短，但是读完题目，大家必须要能【翻译】出几个关键信息，比如：
①顶点(m，n)在y＝x²上，所以有n＝m²，如此以来顶点坐标即为(m，m²)；
②所以要能想到写出二次函数的顶点式y＝a(x－m)²＋m²；③既然函数图象还过点(1，2)，代入顶点式之后，即有2＝a(1－m)²＋m².
只要能想到这里，前两问就非常简单了，大家先看刘博士的解析过程.
【解题感想】
对于第(2)问，刘博士看了网上的解析，目前来看，都是先根据题目条件写出一堆同时含有a，b，c，m，n的等量关系，然后再通过代数消元、恒等变形的形式得到a和m的关系式，你看下图网络流传的解析，做的太傻了.
还有第(3)问，这是典型的函数值比大小的问题，按照刘博士一贯的方法论，一般初中阶段函数值比大小的方法有三种：①直接计算函数值比大小；②结合图象，比较x与对称轴之间的距离；③利用函数增减性.但是刘博士也常说，这三种比较函数值的大小方法并没有明确的优劣之分，要具体题目具体分析，不同的题目三种方法的繁简不同.
比如你看这个题，网络解析用的就是②结合函数图像，解的太复杂了，头皮发麻啊.而此问最简洁的解法，应该是直接比较函数值，大家可以参考刘博士给出的解析过程，只是这种方法需要大家对不等式的求解要熟练.
答案解析给大家了，也谈了刘博士自己的解题感想，这题难吗？这是非常经典的二次函数问题，在我们的九年级专题里类似的题目练过不少啊，所以此题对于80%红分线以上的学友来说，不应该失分.
Part2：第26题，尺规作图问题再看第26题，这个回忆版的题感觉条件不对劲，没明确说用不用尺规的问题，但从后面的解析看，估计要用尺规，所以暂且说这个题就是尺规作图题吧.先看题目描述：
【第（1）问详解】
先看第（1）问，摆明了就是作EF的垂线，只要保证该垂线与AD和BC有交点即可.而且【作垂线】是尺规作图五条基本作图之一.如果只是无脑解题，当然，可以直接作EF的垂直平分线，与AD交于点H，与BC交于点G，这是一个程式化的作图步骤.
当然，也可以利用图形的性质来作图.由这个图形不难联想到【十字架】模型，而且模型的结论就有.所以，逆用一下，如果GH能够与EF相等，就能得到.有了思路，作图就容易了.
【第（2）问详解】
第（2）问，已知四个点P，Q，R，S，分别在正方形的四条边上，需要用【两种】方法作出点P所在的这个正方形的边.
要作这条边，很关键的一点，在于确定这条边上除P点以外的任意一点，由两点确定直线，即可得这条边的所在位置，这就是此问作图的指导思想.
第一种方法应该很容易啦，第（1）问就是提示，我们依然可以联想十字架模型，选两个相对的点连接起来，这里选择连接QS（站在上帝视角，连接QS会减少绘图步骤）.
接下来，可以过点R作QS的垂线，同时截取RK＝QS，此时，由点K和点P，即可确定正方形的一条边所在直线.后面的就容易，参考作图步骤即可.
但是此题还要再给一种作法，显然还要联想其它的性质求解.说实话，确实不太好想，如果平时没有训练过，在考场上估计直接就放弃了.这里先给出刘博士的作法，供学友们参考，我们对着作图再分析.这里就不再叙述具体的作图步骤，只分析作图思路.
这个作法②的研究，刘博士建议大家要基于法①得到的正方形全图来辅助倒着分析（即使不基于法①得到的正方形，也可以自己在草纸上画出任意一个正方形和四条边上的四个点辅助分析，效果一样），因为有了既定图形，就容易联想性质.
这里的方法是想通过确定正方形的对角线AC，再进而得到点A，这是关键.如果有了点A啦，余下的步骤和法①相同.那如何确定点A呢？
Step1：先要能看到∠PAD和∠QCR都是直角，因此可以联想利用【隐圆】，得到点A和点C的轨迹.其中，点C在以QR为直径的圆O1上，点A在以PS为直径的圆O2上.
Step2：另外，还要能看到由于AC是正方形对角线，于是有∠PAC＝∠DAC＝45°，∠QCA＝∠RCA＝45°.
Step3：下面关键来了：【利用圆的性质，等角所对的圆弧相等】，可知圆O1与AC的交点J，是弧QR的中点.同理，圆O2与AC的交点K，是弧PS的中点.
Step4：于是可以反向思考：点J和点K如何求取呢？这又是一步关键操作！即要利用QR和PS的中垂线分别与各自圆弧的交点获得点J和点K.
Step5：显然，连接点J和点K，即可确定AC所在的直线.而这条直线与两个圆的另外两个交点，即为所求的点A和点C.到此作法②的分析结束.
【解题感想】
对于此题的解题感想，首先根据南京市前几年的中考题来看，这类尺规作图题目是常考题型，所以在实际考场上在这个题号位置出现这样的题目，大家不应该感到惊讶，只是今年2024年的这道作图题，主要还是第（2）问的作法②，特别是正方形与圆结合产生45°的圆周角，然后再利用45°角去获得相等的圆弧，如果平时没有训练过类似的作图问题，那在有限的时间内还是很难想的，考场上可以直接放弃，分值也不会有多少.
因此对于明年的南京市学友们的备考，刘博士建议，最好把南京往年的中考作图题先看看，然后再多做一做天津市，武汉市，陕西省，福建省，河南省，等等这些省市的中考真题中的作图题.
另外一个问题，为什么最近今年全国各省市的中考题目都在考形形色色的作图题呢？包括尺规作图，格点作图，无刻度直尺作图等各种形式，这还是要回归到新课标对学生作图能力的新要求，这个要求是明确提高了.所以建议学友们要参照自己省市的中考情况，酌情备考！
Part3：第27题，灯下影问题最后一道第27题，这是非常经典的【灯下影问题】，以影子测量为背景，实则综合了相似三角形，函数与图象等，还是先看题.
【分析OA段】
这个题目分析起来还是有点意思的，注意后面分析时，假设人的脚的位置是R点，头顶的位置是T点，头顶的影子位置是Y点.
所以按照下图的A字相似关系，容易有△LP1Y∽△TRY，很容易得到y/x＝1.5/(h－1.5)，所以y＝1.5x/(h－1.5)，显然在OA段，影子的长度y与路程x是一次函数关系，这也是为啥OA段是直线的原因.
于是可以获得如下结论：
①当人走到RA点时，人影子恰好是RAP2，也就是人的头顶影子与P2点重合.
②而且注意，OA段的线性关系显然是当人走到RA处的时候终止.
③所以A点的横坐标即是人走过的路程P1RA的长度，因此可以得到P1RA＝6，A点的纵坐标即是此时人影RAP2的长度，这很容易理解.
【分析BC段】
另外，从题目的条件看，AB段图象是曲线，BC段是直线，因此可以仿照OA段的分析，接着再分析BC段反映的y与x的函数关系式到底如何？如下图所示，如果要再构造A字相似，可以延长YR与LP1，交于点Q.显然有△LQY∽△TRY，但此时再利用比例关系，那各线段的计算要花点功夫了，大家参考下面的计算过程：
显然通过BC段的函数关系式可以获得如下结论：
①可以判断，BC段的函数关系的开始是人正好走到P2点之后，因此图象中B点的横坐标即代表人走过的路程P1P2的长度，即P1P2＝8，
②再结合OA段的结论P1RA＝6，所以OA段分析图中的RAP2＝P1P2－P1RA＝2.
【答案解析】
好，有了以上的分析，实际就可以解题了，先第（1）问，说是结合P2点的位置，说出A点横向和纵向坐标的实际意义，这个已经分析完了，可参考如下方式回答：
【第（1）问】：
图象中点A的坐标应该为(6，2)，横纵坐标的意义是：当小明走过的路程x为6米时，他的影子y的长度为2米，且此时其头顶的影子恰好与P2点重合.
【第（2）问】：
将点A的坐标(6，2)代入OA段的解析式y＝1.5x/(h－1.5)，即可解得h＝6，即路灯L的高度是6米.
【第（3）①问】：
根据OA段与BC段的函数解析式，很容易看到两条线段的斜率kOA和kBC的表达式，直接比较即可，很容易得到kOA＞kBC，所以OA的倾斜度比BC大，具体的比较如下图所示：
【第（3）②问】：
这一小问大家注意，人家是【选择题】，不是计算题，怎么可能再用网络流传的解析那样，再把AB段的函数表达式计算出来，再去判断？这太傻了，谁也不能在有限的时间内完成如此计算量.
像这个题目，根据它给的既有的图象，结合我们已经得到的OA段和BC段的解析表达式，很容易判断只要坡度角α在范围内，可以得到如下两个结论：
①在一开始的OA段，y一定是随着x的增大而增大的，
②而在最后的BC段，y也一定是随着x的增大而增大的，
所以根据这两条，直接排除B和C选项，因为最后的BC段不可能是减小的.然后剩下A和D选项，再看这两个选项的区别就是对于AB段的判断，下面有两条策略：
①如果你求稳妥，选一个最有把握的得一部分分数，那就选D，保准没错，因为根据题目给出的图象，AB段极有可能不是线性的，是先增大后减小，
②但如果你胆子大一点，就想奔满分去，你看看问题的提示【全部选对即可得满分，选错不得分】，你猜测出题人是给你设了两个正确选项呢？还是一个正确选项呢？如果抱着是福是祸躲不过的心态，就选A和D，也算差不离了.
【解题感想】
所以综上来看，你说这个最后一道27题，难不难？我想，你只要是认真看了刘博士的分析，其实解题思路都还是比较明确的，此题是典型的灯下影的测量问题，出题背景没有任何奇怪的，但总体上看，它确实非常综合，涵盖了A字相似、一次函数、锐角的三角函数关系、比大小、代数运算等.
但话又说来，这里的每一个知识点的应用都非常基础！但是，放在问题里，再综合着作图能力，分析能力，推理能力，运算能力，大家就力不从心了.
Part4.对数学反套路应试的思考所以还是回归到原点，平日里大家数学的学习，一定要重视数学思维的训练，就像【课程标准】里提出的，学数学一定要培养“三会”：要会用数学的眼光看问题，会用数学的思维思考问题，会用数学的语言表达问题，而绝不是天天起早贪黑，努力地无脑刷题！
近几年，无论是高考数学，还是各省市的中考数学，都在提【反套路】出题，这是有大背景的.学友们一定要清楚，改革开放几十年，加入世贸组织之后，国家急需大学生，所以2000年之后大学急剧扩招，目的要的是具有一定大学专业知识的劳动力，这是我们国家发展阶段性的对劳动力的需求.
但是随着国家的发展，目前已经提出我们要向创新型国家转型，科技创新需要人才，是真正的人才，不是仅拥有学历的大学生，而是需要那些有脑子，有活力，有责任，有能力的人.所以再看国家目前对选拔考试的难度提升就很好理解了，国家要对创新型人才的选拔和培养提供保障机制，至于在这条通天之路上该怎么走，这要看各位学友自身的认知了.
